오 차 론

(1) 오차

물리량을 측정하는데는 측정기구가 필요하다. 측정자가 측정기구를 이용하여 어떤 물리량을 잰다고 하자, 세심한 주의를 기울여 측정자의 과실이 없도록 측정하더라도 측정결과는 진실치(참값)에 가까울 뿐 진실치는 아니다. 다시 말하면 진실치가 t인 양을 측정하여 z라는 측정치를 얻었다면 일반적으로 t와 z은 일치하지 않는다.

x = z - t

이 차가 측정의 오차이다. 진실치 즉 참값은 정확히 알 수 없는 양이므로 오차도 정확히 알 수는 없고 단지 추측할 수 있는 수치일 뿐이다. 일반적으로 오차는 다음과 같이 구분할 수 있다.

* 계통오차(Systematic error) : 측정계기의 미비한 점에 기인되는 오차로서 그 크기와 부호를 추정할 수 있고 보정할 수 있는 오차이다.

1. 외계오차(External error) : 측정시 온도나 습도와 같은 알려진 외계의 영향으로 생기는 오차.

2. 기계오차(Instrumental error) : 사용된 기계의 부정확성으로 인한 오차.

3. 개인오차(Personal error) : 측정하는 개인의 선입관으로 인한 오차.

위와 같은 계통오차는 측정시 실험자가 주의를 하면 제거할 수 있고 보정이 가능한 오차이다.

* 우발오차(Random error) : 한 가지 실험측정을 반복할 때 측정값들의 변동으로 인한 오차를 말하며 계통오차와 달리 제거할 수 없고 보정할 수도 없는 것이지만 측정의 회수를 될 수 있는 대로 많이 하여 오차의 분포를 살펴 가장 확실성 있는 값, 즉 최확치를 추정할 수 있는 것이다. 일반적으로 계통오차가 없을 때는 측정결과가 정확하다고 말하고, 우발오차가 작을 때는 정밀하다고 말한다.

(2) 유효 숫자

실험에서 측정된 값들은 몇 자리의 숫자로 표시된다. 만약 어떤 측정값이 57.4라고 하면 3자리의 수이고 이것을 표시하는데 3개의 숫자가 사용되고 있다. 이때 유효숫자는 3자리하고 한다. 이것을 57.40으로 쓰면 57.4와 같은 값을 가지지만 서로 다른 의미를 가진다. 57.4는 유효숫자가 3자리이고 소수점 첫째 자리는 어림한 값을 가진다는 뜻이고, 57.40의 유효숫자는 4자리이고 소수점 첫째 자리는 정확한 값이고 둘째 자리는 어림한 값을 가진다는 의미이다. 유효숫자가 많은 측정값의 정밀도가 높고, 측정값의 크기는 유효숫자가 많고 적음에 아무런 관계가 없다.

170000인 측정값을 유효숫자에 따라 다음과 같이 표기한다.

㉠ 유효숫자의 유리한 점

    1. 불확실성의 존재를 쉽게 알려준다.

    2. 곱셈과 나눗셈을 통해 생기는 불확실성을 있는 그대로 평가하기 쉬운 기초를 마련해준다.

㉡ 유효숫자의 불리한 점

    1. 불확실성을 어림셈만을 준다.

    2. 테이터가 결합될 때 불확실성의 축적에 관한 관계를 생략한다.

    3. 곱하기에 쓰일 유효숫자와 관련하고 있는 규칙을 다른 셈들, 특히 더하기나 빼기에는 적용되지 않는다.

    4. 곱셈에서조차도 유효숫자의 보통 규칙들은 불확실성을 잘못 지시할 수 있다.

(3) 대표값

측정을 여러 번 되풀이하면 여러 가지 다른 값을 얻게 되는데, 이 때 많은 측정값으로부터 하나의 대표값을 결정하는 데는 몇 가지 방법이 있을 수 있다.

(Ⅰ) 중앙값 (Median)

측정값을 모두 나열했을 때, 중앙에 위치하는 측정값을 말하고, 보통 Me로 나타낸다.

(Ⅱ) 최빈값 (Mode)

측정값의 빈도가 가장 많이 나타나는 측정치를 말하며, 보통 Mo로 표시한다.

(Ⅲ) 산술평균 (Arithmetical Mean)

만약 측정값들이 x₁ x₂ x₃ x₄ … , x_N 이라면 산술평균 혹은 평균값은 다음과 같이 정의된다.

평균값 = [ S x_i ]/N

(Ⅳ) 가중평균 (Weight Mean)

측정값이 경우에 따라서는 같은 측정값이 여러 번 반복되어 나타날 수 있고, 이 때에는 빈도를 가중치로 택하여 평균값을 계산한다. 측정값들이 x₁, x₂, x₃, … 고 빈도가 각각 f₁, f₂, f₃ … 이라면 평균값은 아래와 같이 계산할 수 있다.

(4) 편 차

* 상대오차 : 큰 값과 작은 값이 같은 오차로 측정되었을 때 큰 쪽이 상대적으로 높은 정밀도를 가진다. 이와 같은 측정의 정밀도를 나타내기 위해서 상대오차로 표시하는 것이 편리하다.

* 범위 (Range) : 측정값의 최고와 최저값의 차를 말하는 것으로 신뢰도는 높지 못하나 추정(推定)이 빠르고 쉽다.

* 편차
측정에 있어서 참값을 알 수 없는 경우가 대부분이다. 이때 참값 대신 평균값을 많이 사용하고 편차는 다음과 같이 정의된다.

편차 (Deviation) = 측정값 - 평균값

* 평균편차 (Average Deviation : A.D)
편차의 절대값의 제곱을 평균하여 측정값이 평균으로부터 얼마나 흩어졌는가를 표시하는 것이다.

* 표준편차 (Standard Deviation s)와 정밀도
측정값의 표준편차는 측정기구의 정밀도와 직접적으로 관계가 있는 양으로 다음과 같이 정의한다.

그러나 참값을 모르므로 오차를 계산할 수 없고 따라서 측정값으로부터 직접 σ를 계산할 수 없다. 하지만 오차와 편차 사이의 관계식을 이용하면, 표준편차를 구할 수 있다.

N번 측정에 의한 표준편차 또는 측정기구감도의 최적어림(Best estimate)은 다음과 같이 표시된다. 요약하면 N번 측정에 있어서 임의의 한 측정값이 표준편차 또는 그 측정기구의 정밀도라고 하는 감도는 s_a가 된다.

* 평균값의 표준편차 : 표준오차

우리는 여러 번 측정한 값으로부터 하나의 대표값을 세울 때 단일량의 경우 평균값을 최확치로 하지만 그 평균값이 얼마나 신뢰할 수 있는 정확한 값인가를 어떻게 구하는가?

우선 평균값의 표준편차 또는 표준오차의 정의로부터는 어려운 것인데, 우선 현단계에서는 표준오차의 최적어림으로 다음과 같이 제시된 조정된 오차(s_a)로 구할 수 있다는 것만 언급해 둔다.

보통 일반통계에서 " 평균값 ± 조정된 표준오차 "로 써 놓은 것의 의미는 참값이 으로부터 사이에 존재할 확률이 68.3％라는 뜻이지만 물리학 실험에서는 다음과 같은 확률오차의 표현을 하는 것이 보통이다.

(5) 확률오차

어떤 값 보다 큰 오차와 작은 오차가 일어나는 확률이 같을 때 이 값을 확률오차(s_p)라 정의하며 측정값의 신뢰도를 표시하는데 흔히 물리학 실험에서 쓴다. 이것은

이 되는 s_p의 값인데 +s_p와 -s_p에서 y축, 즉 f(e)에 평행한 직선을 그으면 오차곡선과 x축 사이의 면적은 이등분되고 확률오차는 결과적으로 다음과 같이 된다.

보통 물리상수가 "최확치 ±확률오차 (p ±s_p)"로 표시되어 있는데, 이 뜻은 참값이 p + s_p에서 부터 p - s_p 사이에 존재할 확률이 50％라는 뜻이다.

(여기서 f(e)는 Gauss의 오차함수이다.)

** 오차와 편차 사이의 관계식 유도 **

값 t가되는 어떤 양을 측정하여 측정치 z₁, z₂, z₃, … , z_N 을 얻었다면 각각의 오차 e₁, e₂, e₃, …, e_N은 오차의 정의에 의하여

e_i = z_i - t, (i = 1, 2, 3, …, N) 이 된다.

지금 대표값을 로서 측정치의 산술평균으로 택하면 편차는 정의에 의하여

먼저 오차의 양변을 제곱하여 1에서 N까지 합하면

이 되고 또한 편차의 양변을 제곱하여 1에서 N까지 합하면

------------ (2)

이 되는데 (2)식을 (1)식에 대입하면

이 된다.

지금 이 식의 우변에 를 대입하면

--------------- (3)

이 된다. 한편 편차의 양변을 1에서 N까지 더하면

이 되므로, 따라서 이 된다. 따라서,

이 되는데 여기서 양, 음은 같은 확률을 가지므로 이 된다. 따라서

이 되고 ⑶식으로부터

이 된다. 따라서

이 된다.

곧, N회 측정하였을 때에 오차와 편차 사이의 관계식을 구할 수 있다.

(6) 최소자승법

지금 어떤 금속의 밀도를 측정하는 경우 시료가 여러 가지 크기의 것이 있어 측정결과 이들의 질량이 M₁, M₂, M₃, ....., M_N이고 체적이 V₁, V₂, V₃, ....., V_N 이었다고 한다.

이때 초보자는 이들 수치를 사용하여 밀도의 최확치로서 각 시료의 밀도

D₁ = M₁/V₁, D₂ = M₂/V₂, ... D_N = M_N/V_N, 를 구하여 이 D₁, D₂, D₃, ....., D_N의 평균치

D = (D₁ + D₂ + D₃ + ... + D_N)/N  을 채용하는 것이 보통이다. 그러나 이것은 정당한 수치의 취급법이 아니다. 왜냐하면 각 시료의 크기에 차이가 있으므로 측정의 정확도에 차이가 있어 계산치 D₁, D₂, … 등의 신뢰도에도 차이가 나타나는 것이니까 이것들을 동급으로 취급하는 것은 공평한 처리 방법이 못되기 때문이다. 신뢰도가 높은 수치에는 이것에 적당한 가중치를 붙여 취급하여야 한다. 이것을 고려한 것이 최소자승법에 의하여 얻어진다. D = M/V, M - DV = 0 인데 각 측정치에 오차가 있으므로

을 최소로 하는 D를 구하는 것이 최소자승법이므로 다음과 같이 계산한다.

이것을 변형하면

이 된다. 여기서 은 가중치의 역할을 하고 있다.

(7) 오차의 전파

직육면체의 가로, 세로 및 높이를 각각 열 번씩 측정하여 그 부피를 구하는 실험을 생각해 보자. 이들 데이터를 이용하면 1,000개의 부피에 관한 데이터를 얻을 수 있고 이로부터 평균값과 표준편차를 구할 수 있다. 그러나 보다 합리적인 방법은 가로, 세로, 높이에 대한 각각의 평균값들을 먼저 구하고 이 평균값들을 곱하여 부피를 구하는 것이다.

이 경우에 문제점은 부피의 오차를 추정하는 것이다. 한 가지 분명한 점은 각 변의 길이의 오차 때문에 부피의 오차가 생긴다는 것이다. 따라서, 실제 측정상의 개별적 오차가 계산하고자 하는 물리량에 어느 정도 전파되는가를 알 필요가 있다.

구체적으로 어떤 물리량 z가 다른 물리량 x, y, … 의 z = f ( x, y, … ) 의 관계로 주어졌다고 하자, 그리고 x, y, … 의 측정으로부터 의 평균값과 σx ,~ σy , …의 표준편차들을 얻었다고 하자. 그러면 z의 평균값은 로 주어지며 z의 표준편차는 다음과 같다.

여기서 는 평균값 에서 계산한 편도함수들을 의미한다.

위의 식을 오차의 전파공식이라고 한다. 실제로 다음과 같은 경우들은 간단한 실험에서 자주 나타나므로 익숙해 두는 것이 편리하다 ( 보기에서 a, b는 주어진 상수이다. )

측정오차가 작을수록 좋다는 것은 자명하다. 그러나 제한된 시간에 주어진 장비로 최대한의 좋은 결과를 얻으려면 결과적인 최종오차 σz가 최소가 되도록 x , y , …등의 오차들을 상대적으로 최적화 되도록 실험을 계획하는 것이 바람직하다. 위의 공식들을 보면 덧셈과 뺄셈에서는 절대오차가 같은 정도의 크기가 되도록 하는 것이 좋다. 또한 곱셈과 나눗셈에서는 상대오차가 같은 정도가 되도록 하는 것이 합리적이다. 유효숫자를 다룰 때 숫자의 가감승제에서 이러한 오차전파의 공식이 반영되어 있음을 알 수 있다. 그리고 공식 (4)와 (5)에서 보듯이 멱함수의 경우에는 지수가 클수록 전파되는 오차량도 커지는 것을 알 수 있으므로 특히 정밀한 측정이 요구된다.